Грамматика ложбана/14.1

Логическая связь и таблицы истинности

Lojban - логический язык: название самого языка означает “логический язык”. Основные принципы обычной логики (есть различные типы логики, которые не рассматриваются в этой книге) включают понятия "предложения" (иногда называемого "утверждением" или "суждением"), который утверждают истинность или ложность, и небольшой набор “функций истинности”, которые комбинируют два предложения, чтобы создать новое предложение. У функций истинности есть особенность в том, что значение истинности (то есть, правда или неправда) результатов зависит только от значения истинности составляющих предложений. Например,

1.1) Джон - человек, или Джеймс - женщина.

верно, если “Джон - человек” - верно, или если “Джеймс - женщина” - верно. Если мы знаем, что Джон - человек, и мы знаем, что Джеймс - женщина, то мы знаем, что “Джон - человек, или Джеймс - женщина” - истинно, если мы знаем значение "или". Здесь “Джон - человек”, и “Джеймс - женщина” - это составляющие предложения.

Мы будем использовать фразу “отрицание предложения”, чтобы обозначить значение истинности. Русское предложение может всегда отрицаться, если предварительно поставить перед ним фразу "Это ложно то, что...”, или (более идиоматично) вставляя "не" в правильном месте предложения, обычно перед глаголом. “Джеймс - не женщина” - это отрицание предложения “Джеймс - женщина”, и наоборот. В своременном английском языке предложение иногда отрицают ставя восклицание not после глагола “James is a woman not!”

Слова такие как "или" называются “логическими соединительными словами”, и в ложбане есть много таких слов, как и приличествует логическому языку. Эта глава главным образом касается объяснения форм и использования ложбанских логических соединительных слов. Есть много других логических соединительных слов в русском языке таких как "и", "и/или", "если", "только если", "так это или не так, но...", и других; однако, не каждое использование этих русских слов полностью соответствует логическому соединительному слову - русские слова бывают многозначны. Этот момент будет подробнее объяснен в особых необходимых случаях. Другие русские значения также выражаются различным ложбанскими соединительные конструкциями.

The Lojban connectives form a system (as the title of this chapter suggests), regular and predictable, whereas natural-language connectives are rather less systematic and therefore less predictable.

There exist 16 possible different truth functions. A truth table is a graphical device for specifying a truth function, making it clear what the value of the truth function is for every possible value of the component sentences. Here is a truth table for “or”:

first second result True True True True False True False True True False False False This table means that if the first sentence stated is true, and the second sentence stated is true, then the result of the truth function is also true. The same is true for every other possible combination of truth values except the one where both the first and the second sentences are false, in which case the truth value of the result is also false.

Suppose that “John is a man” is true (and “John is not a man” is false), and that “James is a woman” is false (and “James is not a woman” is true). Then the truth table tells us that

      “John is a man, or James is not a woman”             (true   true )  is true;
      “John is a man, or James is a woman”                 (true , false)  is true;
      “John is not a man, or James is not a woman”         (false, true )  is true;
      “John is not a man, or James is a woman”             (false, false)  is false.

Note that the kind of “or” used in this example can also be expressed (in formal English) with “and/or”. There is a different truth table for the kind of “or” that means “either ... or ... but not both”. To save space, we will write truth tables in a shorter format henceforth. Let the letters T and F stand for True and False. The rows will always be given in the order shown above: TT, TF, FT, FF for the two sentences. Then it is only necessary to give the four letters from the result column, which can be written TTTF, as can be seen by reading down the third column of the table above. So TTTF is the abbreviated truth table for the “or” truth function. Here are the 16 possible truth functions, with an English version of what it means to assert that each function is, in fact, true (“first” refers to the first sentence, and “second” to the second sentence):

   TTTT    (always true)
   TTTF    first is true and/or second is true.
   TTFT    first is true if second is true.
   TTFF    first is true whether or not second is true.
   TFTT    first is true only if second is true.
   TFTF    whether or not first is true, second is true.
   TFFT    first is true if and only if second is true.
   TFFF    first is true and second is true

   FTTT    first and second are not both true.
   FTTF    first or second is true, but not both.
   FTFT    whether or not first is true, second is false.
   FTFF    first is true, but second is false.
   FFTT    first is false whether or not second is true.
   FFTF    first is false, but second is true.
   FFFT    neither first nor second is true.
   FFFF    (always false)

Skeptics may work out the detailed truth tables for themselves.